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欧几里得算法是什么？？

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欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。
应用领域有数学和计算机两个方面，计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 。
欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。
算法简介：
欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。
古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。
扩展欧几里得算法可用于RSA加密等领域。
假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1 ，以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1 。
以上内容参考百度百科-欧几里得算法

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The Euclidean Algorithm
欧几里德算法(又称辗转相除法)是一种用于快速寻找两个整数的最大公约数的技巧。
最大公约数 Greatest Common Divisor (GCD)：整数 A 和 B 的最大公约数是指能够同时整除 A 和 B 的最大整数。
使用欧几里德算法寻找 GCD(A,B) 的过程如下：
欧几里德算法使用了下述特性：
如果 A 和 B 其中一个为 0，便可利用前两个特性得出 GCD 。第三个特性帮助我们将大而复杂的问题化简为小而容易解决的问题。欧几里德算法先利用第三个特性迅速化简问题，直至可以通过前两个特性求解为止。
证明 GCD(A,0)=A的过程如下：
GCD(0,B)=B的证明过程与此类似，区别仅在于用 B 替换 A 。
先证明较简单的 GCD(A,B)=GCD(B,A-B) ，再证明 GCD(A,B)=GCD(B,R)

根据定义 GCD(A,B) 可均分 A 。因此，A 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 X?GCD(A,B)=A ，此处的 X 是某个整数。根据定义 GCD(A,B) 可均分 B 。因此，B 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 Y?GCD(A,B)=B ，此处的 Y 是某个整数。
根据 A-B=C 可得出：
由此可见 GCD(A,B) 可均分 C 。上图的左侧部分展示了此证明，提取如下：
证明 GCD(B,C) 均分 A
根据定义 GCD(B,C) 可均分 B 。因此， B 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 M?GCD(B,C)=B，此处的 M 是某个整数。根据定义 GCD(B,C) 可均分 C 。因此，C 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 N?GCD(B,C)=B，此处的 N 是某个整数。
根据 A-B=C 可得出:
B+C=A
M?GCD(B,C) + N?GCD(B,C) = A
(M + N)?GCD(B,C) = A
由此可见 GCD(B,C) 可均分 A 。下图展示了此证明：
证明 GCD(A,B)=GCD(A,A-B)
根据定 GCD(A,B) 均分 B
同时，已证明 GCD(A,B) 均分 C
因此，GCD(A,B) 是 B 和 C 的公约数
由于 GCD(B,C) 是 B 和 C 的最大公约数，所以 GCD(A,B) 必须小于或等于 GCD(B,C) 。
根据定义 GCD(B,C) 均分 B
同时，已证明 GCD(B,C) 均分 A
因此，GCD(B,C) 是 B 和 A 的公约数
由于 GCD(A,B) 是 A 和 B 的最大公约数，所以 GCD(B,C) 必须小于或等于 GCD(A,B) 。
∵ GCD(A,B)≤GCD(B,C) 且 GCD(B,C)≤GCD(A,B) ∴ GCD(A,B)=GCD(B,C) 即 GCD(A,B)=GCD(B,A-B)
下图的右侧部分展示了此证明的图示：
前面已证明了 GCD(A,B)=GCD(B,A-B) 另外，对于 GCD( ) 而言，括号中各项的顺序并不重要，因此 GCD(A,B)=GCD(A-B,B) 那么，如果反复应用 GCD(A,B)=GCD(A-B,B)，便可得到： GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q?B,B) 由于 A= B?Q + R 可得 A-Q?B=R，所以GCD(A,B)=GCD(R,B)。由于括号中各项的顺序并不重要，因此最终可得： GCD(A,B)=GCD(B,R)