在代数和几何之间跳舞的数学家，研究椭圆曲线时结合了代数和几何 _莫德尔

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来源：quantamagazine
和许多后来成为数学家的人一样，何伟（Wei Ho）在数学竞赛中长大。八年级时，她赢得了威斯康星州数学竞赛的冠军。Ho被数学的严谨性所吸引。她研究的是我们熟悉的几何物体，但她将问题重新定义为有理数（然后数论就开始起作用了）。
她对椭圆曲线特别感兴趣，椭圆曲线是由一种特殊的多项式方程定义的，在数学的不同分支中都有应用。椭圆曲线出现在分析中以及寻找和定义精确数学结构的代数中。尽管它们的关注点不同，但分析和代数更多的是根据感性而不是严格的界限来划分的，因为它们之间有很多重叠。

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2018年，Ho和她的合作伙伴哈佛大学的Levent Alp?ge发现了定义椭圆曲线的多项式的整数解数量的一个新的上限。他们借鉴了美国数学家路易斯·莫德尔几十年前的研究成果。在他们的论文中，Ho和Alp?ge能够收集到关于这些整数解的分布的新信息。
Quanta在一系列视频会议中与Ho进行了交谈。这些采访经过了精简和编辑。
你如何描述你做数学的方法？
有时数学家把自己分为代数人和分析人。我做的数学涉及两方面，但在内心深处，我是一个代数学家，尽管我的思维方式是几何的。我常常倾向于把代数和几何看作本质上是一样的。
这不是很准确，但基本上从笛卡尔的工作开始特别是在上个世纪，这两个学科变得非常接近。有一个相当精确的字典，可以在某些情况下，帮助把一个几何图形翻译成代数结果。
在我自己的例子中，几何图形通常有助于表述陈述和猜想，并提供直觉，但我们在写作时将它们转化为代数。因为代数通常更严格，所以更容易发现错误。当几何图形难以可视化时，使用代数也会更容易。
【在代数和几何之间跳舞的数学家，研究椭圆曲线时结合了代数和几何】在你最近的工作中，你关注的是什么想法？
我的很多工作都与椭圆曲线有关，这是数论和算术几何中非常自然的对象。应该很难得到这样的方程的整数解。基本上，我们期望几乎所有曲线都没有整数解。但这很难证明。
Levent和我研究了积分点数的分布。我们使用了莫德尔1969年出版的《丢番图方程》一书中的经典结构。我们可以给出椭圆曲线上积分点个数的上限。其他人给出了上界。我们发现了一个不同的边界。
莫德尔早期的工作在你最近的成果中起了什么作用？
我们的问题涉及椭圆曲线上的积分点。莫德尔有办法把它和我们可以研究的其他东西联系起来。这是我们在数学中一直在做的事情：我们想要理解一个对象，但我们必须找到一个代理来理解它。有时候这个代理是非常准确的。有时它会丢失信息。